Linearne jednadžbe

Linearne jednadžbe su matematički izrazi u kojima su varijable povišene na prvu potenciju, a njihovi grafički prikazi su ravne linije. Linearne jednadžbe su temeljni dio algebre i koriste se za modeliranje i rješavanje različitih problema iz svakodnevnog života, kao što su poslovanje, fizika i inženjering.

Opći oblik linearne jednadžbe

Najjednostavniji oblik linearne jednadžbe s jednom varijablom je:

$ax + b = 0$

Gdje su $a$ i $b$ konstante, a $x$ je varijabla. Rješenje ove jednadžbe je vrijednost $x$ koja zadovoljava jednadžbu. Rješava se tako da se izolira $x$ :

$x = \frac{-b}{a}$

Ako imamo dvije varijable, linearna jednadžba poprima oblik:

$ax + by = c$

Gdje su $a$ , $b$ i $c$ konstante, a $x$ i $y$ varijable. Ova jednadžba predstavlja pravac u ravnini.

Grafički prikaz linearnih jednadžbi

Linearne jednadžbe s dvije varijable mogu se grafički prikazati kao pravci u koordinatnom sustavu. Oblik pravca često se zapisuje kao:

$y = mx + n$

Gdje je $m$ nagib (koji pokazuje kako brzo raste ili opada pravac), a $n$ je presjek s osi $y$ , odnosno vrijednost $y$ kada je $x = 0$ .

Ako je nagib $m$ pozitivan, pravac raste.
Ako je nagib $m$ negativan, pravac opada.
Ako je $m = 0$ , pravac je horizontalan i paralelan s osi $x$ .

Primjeri linearnih jednadžbi

Jednostavna linearna jednadžba s jednom varijablom:

$2x – 6 = 0$

Rješavanje:

$2x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 3$

Rješenje je $x = 3$ .

Linearna jednadžba s dvije varijable:

$3x + 4y = 12$

Ako želimo nacrtati pravac ove jednadžbe, možemo odabrati nekoliko vrijednosti za $x$ i izračunati odgovarajuće $y$ , ili preoblikovati jednadžbu u oblik $y = mx + n$ :

$4y = -3x + 12 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{3}{4}x + 3$

Ovdje je nagib pravca $-\frac{3}{4}$ , a presjek s osi $y$ je $3$ .

Sustavi linearnih jednadžbi

Sustavi linearnih jednadžbi se sastoje od dvije ili više linearnih jednadžbi koje rješavamo istovremeno. Na primjer, sustav od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice:

$2x + y = 8$
$x – y = 3$

Rješenja ovakvih sustava predstavljaju točke gdje se pravci koji predstavljaju jednadžbe sijeku. Sustavi linearnih jednadžbi mogu se rješavati različitim metodama, poput:

Metoda supstitucije: Jedna jednadžba se preoblikuje tako da se jedna varijabla izrazi pomoću druge, a zatim se to rješenje unese u drugu jednadžbu.
Metoda eliminacije: Koriste se aritmetičke operacije kako bi se eliminirala jedna od varijabli, ostavljajući jednostavniju jednadžbu s jednom varijablom.
Grafička metoda: Crtanjem pravaca jednadžbi i određivanjem točke presjeka.

Primjena linearnih jednadžbi

Linearne jednadžbe nalaze široku primjenu u stvarnom životu:

Financije: Izračunavanje troškova i prihoda, određivanje cijena i planiranje proračuna.
Fizika: Opisivanje gibanja objekata s konstantnom brzinom.
Inženjering: Modeliranje i analiza jednostavnih sustava, poput električnih krugova ili građevinskih konstrukcija.

Zaključak

Linearne jednadžbe su osnova mnogih matematičkih i znanstvenih koncepata. Njihova jednostavnost i univerzalnost čine ih vrlo korisnima u rješavanju svakodnevnih problema, modeliranju stvarnih situacija i razvijanju složenijih matematičkih metoda. Razumijevanje linearnih jednadžbi otvara vrata za naprednije matematičke koncepte, poput kvadratnih jednadžbi, sustava jednadžbi i linearne algebre.