Racionalni brojevi

Racionalni brojevi su svi brojevi koji se mogu izraziti kao razlomak oblika ab\frac{a}{b}, gdje su aa i bb cijeli brojevi, a b≠0b \neq 0. Drugim riječima, to su brojevi koji se mogu prikazati kao omjer dva cijela broja. Skup racionalnih brojeva obuhvaća cijele brojeve, prirodne brojeve i sve one brojeve koji se mogu zapisati kao razlomci.

Primjeri racionalnih brojeva

  • 12\frac{1}{2}, −34\frac{-3}{4} 
    7     (jer se može zapisati kao 71\frac{7}{1}).

Važno je napomenuti da decimalni brojevi koji se završavaju (npr. 0,750,75) ili periodični decimalni brojevi (npr. 0,333…0,333… koji je ekvivalentan 13\frac{1}{3}) također spadaju u racionalne brojeve.

Osnovna svojstva racionalnih brojeva

  • Zatvorenost: Racionalni brojevi su zatvoreni za operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja (osim dijeljenja s nulom). To znači da, ako uzmemo dva racionalna broja i primijenimo neku od tih operacija, rezultat će također biti racionalan broj.

  • Gustoća: Između bilo koja dva racionalna broja uvijek postoji još jedan racionalan broj. To znači da su racionalni brojevi gusto raspoređeni na brojevnom pravcu i između njih ne postoji nikakav “prazan prostor”.

Racionalni brojevi i ostali brojevi

  • Cijeli brojevi: Svi cijeli brojevi su također racionalni jer se mogu izraziti kao razlomak s nazivnikom 11. Na primjer, broj 55 možemo zapisati kao 51\frac{5}{1}.

  • Irracionalni brojevi: Irracionalni brojevi su oni koji se ne mogu izraziti kao razlomak dva cijela broja. Primjeri irracionalnih brojeva uključuju 2\sqrt{2}, π\pi, i ee. Ovi brojevi imaju beskonačan, neperiodičan decimalni zapis, za razliku od racionalnih brojeva koji imaju ili konačan ili periodičan decimalni zapis.

Zašto su važni?

Racionalni brojevi igraju ključnu ulogu u osnovnoj i naprednoj matematici jer omogućuju preciznije računanje nego cijeli brojevi. Kroz algebru, geometriju i analizu, racionalni brojevi koriste se za opisivanje proporcija, omjera, nagiba pravaca, i mnogih drugih matematičkih pojmova. Oni također predstavljaju osnovu za razumijevanje realnih brojeva i koncept beskonačnosti u matematici.

Zaključak

Racionalni brojevi su široko primjenjivi u matematici i svakodnevnom životu. Bez njih, ne bismo mogli izraziti točne vrijednosti omjera, udjela ili raditi s decimalnim brojevima. Kroz razumijevanje racionalnih brojeva, matematičari su razvili brojne teorije i alate koji se koriste u gotovo svim granama znanosti i tehnologije.

Scroll to Top